应用题作业帮助

应用题,模型要说得通。

把题目文字写成符合题目情境的方程。练固定费用、单价、折扣和比较,再看结果在情境里是什么意思。

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把固定费用、单价、百分数和比较,写成一个数学模型。

蓝白色的日历、沙漏和笔记本,看着很安静

看这个想法怎么用

找出藏在题目情境里的关系。

把一次性的费用和单价分开,再检查算出来的路程能不能得到题目里的车费。

应用题作业帮助 · 例题

出租车起步收 $4,之后每英里 $2。车费是 $18。走了多少英里?

答案7 英里

准备好的学习例子。

  1. 1

    设未知数

    设 m 为走过的英里数。

  2. 2

    列出式子

    固定的起步费加上按路程计的费用,得到 4 + 2m = 18。

  3. 3

    解方程

    减去 4:2m = 14。除以 2:m = 7。

  4. 4

    回到题目情境

    按题目给出的计价,7 英里这趟是 $4 + $14 = $18。

在 Lirno 里试

把你自己的题目情境写成模型。

把完整的题目文字和你试着列的方程给 Lirno。问每一项表示什么,包括你要求的那个量。

从这里开始

先说出未知数。再写成模型。然后回到题目情境。

  1. 01

    写出未知数

    用一句话写出你的变量是什么,单位是什么。

  2. 02

    把关系说出来

    先用文字说明这些量怎样连在一起,再写出符号。

  3. 03

    回到情境里回答

    检查计算,再把结果写成一句关于题目情境的话。

写出未知数和单位

在出租车这个例子里,m 表示行驶了多少英里。它不表示总车费,也不表示每英里的单价。方程 4 + 2m = 18 把一次性费用和按路程算的费用合在一起。减去 4 得到 2m = 14,于是 m = 7 英里。代回去,能得到题目里的车费。

计算之前先写「设 m 为路程,单位是英里」。这句话让后面每一项都有意思。它也让不可能的结果更容易看出来:负的路程,不符合这道车费题。报答案之前,先看对个数、区间或取整有没有限制。

把固定费用和单价分开

租一次是 $12,再加上每小时 $5。h 小时的总价是 12 + 5h。如果总价是 $37,那么 5h = 25,h = 5 小时。一次性的费用不乘小时数。用 h = 0 很快检查一下,剩下的是一开始的 $12。

如果题目改成每小时 $12,再加一笔 $5 的费用,模型就变成 12h + 5。同样是这两个数,关系不一样。不要因为认出了这些数,或看到「总共」这样的词,就去选运算。说明每一笔钱量的是什么。

百分数问题里,先选好基准

一件 $60 的东西打 20% 的折,折扣金额是 0.20 × $60 = $12,所以优惠后的价钱是 $48。如果再按这个优惠后的价钱收 8% 的税,税是 0.08 × $48 = $3.84,最终价钱是 $51.84。这两个百分数用的基准不一样。

如果把两个百分数合成一次减少 12%,会得到 $52.80,那是另一个答案。如果题目规定了这个顺序,以及税按哪个基准算,就把过程写成 60 × 0.80 × 1.08。这是准备好的计算例子。真正要付多少,要看实际购买里写明的条件。

让速率和时间的单位对得上

速率保持 72 km/h 时,25 分钟的行程是 72 × (25/60) = 30 km。要把分钟换成小时,因为这个速率用的是小时。不换算,直接用 72 乘 25,乘在一起的单位对不上。

速率会变的时候,用总路程除以一共用的时间。先用 20 分钟走 10 km,再用 30 分钟走 30 km,一共 50 分钟走了 40 km:40 ÷ (50/60) = 48 km/h。两段的速率分别是 30 km/h 和 60 km/h。把它们简单平均成 45 km/h,在这里是错的,因为走这两段速率所用的时间不一样长。

解之前,先把比较写成式子

Mia 的贴纸比 Leo 多 3 张。两人一共有 27 张。设 l 是 Leo 的张数,Mia 的张数是 l + 3。总数写成 l + (l + 3) = 27,所以 2l = 24,l = 12。Mia 有 15 张。两个条件都要检查:15 比 12 多 3,加起来是 27。

「更多」说的是个数之间的比较,并不自动决定解方程时最后用什么运算。线段图,或者两行的表,能把这个关系看出来。如果题目问的是 Mia 有多少张,中间的 l = 12 还不是所求的结果。

按题目情境的要求来取整

一组有 53 个学生,每辆车能坐 12 人。商是 53/12,大约 4.42,但这组人需要五辆车。四辆车只有 48 个座位。如果是一个测量值,分数答案可以;如果问的是需要几个整容器,要看情境决定要不要向上取整。

列式还不清楚时,问 Lirno 这个模型;计算清楚了,但最后的答案感觉不对时,问这个结果该怎么理解。把完整的题目文字给它。最后用一句话写出所求的量,并把题目情境里的每个条件都检查一遍。

用同一个未知数比较两个方案

方案 A 是 $10,再加上每次 $2。方案 B 是 $4,再加上每次 $3。设 v 是次数,费用就是 A = 10 + 2v 和 B = 4 + 3v。费用相等时,10 + 2v = 4 + 3v,得到 v = 6。这时两个方案都是 $22。

费用相等的那个数,只是做决定的一部分。四次的时候,A 是 $18,B 是 $16;八次的时候,A 是 $26,B 是 $28。少于六次时方案 B 更便宜,多于六次时方案 A 更便宜,正好六次时两个一样。写出允许的次数,以及你的建议涵盖哪一段。

下一个小进展

给每一项一个作用。

算之前先把题目情境理清楚。找出你要求的量、保持不变的那一笔,以及会变的那一部分。你的方程要和文字说的是同一个题目情境。

准备好的小练习

俱乐部收 $6 的预订费,再加上每次 $3。一次预订总共是 $24。里面有多少次?

给我一个提示

设 s 表示次数。预订费只付一次,$3 是每一次都要付的。

给我看理由

模型是 6 + 3s = 24。减去固定费用得到 3s = 18,再除以 3:s = 6 次。按题目情境检查:$6 + 6 × $3 = $24。

变成你自己的

把这个想法用到你自己的作业上。

次数仍然是六次,把预订费改成 $9。先预测新的总价,再去算。这是在看你能不能把固定的项和单价分开,而不是把同一串计算再做一遍。

改成给 Lirno 的一道题 →

卡住之前先发现

三个小细节。
一次更稳的尝试。

看看这道练习实际在查方法的哪一部分。先查这三处错。

01

每个数都自动用上

有些细节只是在交代背景,不是所求的那个关系。先定义未知数,说明每一项,再决定多出来的那个数要不要放进模型。

02

把固定费用也乘上

一次性的费用,和按次、按英里或按件收的费用,不是一回事。读这个金额旁边写了什么。在这个例子里,只有 $3 这个单价要乘次数。

03

答案落在题目情境外面

只写一个 6,没有说出结果是什么。要写成六次,并检查总费用。换一道题时,还要看情境允不允许分数,或者负数。

换一种情况试试

想法一样。
判断是新的。

打开讲解之前先自己做一遍。这些原创任务查的是方法里的另一处,所以只靠一个熟悉的答案不够。

01

固定费用加单价

租自行车是 $7,再加上每小时 $3。账单是 $25。租了几个小时?

对照你的理由

设 h 是小时数。固定费用只出现一次,所以 7 + 3h = 25。

减去 7,再除以 3:3h = 18,所以 h = 6 小时。按题目情境检查:$7 + $3 × 6 = $25。

留着这条线索: 系数上必须是单价;7h + 3 说的是另一种计价。

02

百分数倒过来,基准就不同

一件夹克打了 20% 的折以后是 $72。原价是多少?

对照你的理由

设 p 是原价。售价是 p 的 80%,所以 0.80p = 72。

除以 0.80 得到 p = $90。检查:$90 的 20% 是 $18,并且 $90 − $18 = $72。如果加上 $72 的 20%,会得到 $86.40,那个基准是错的。

留着这条线索: 算之前,先写明这个百分数指的是哪一个量。

用一分钟看自己懂了没有租用的费用是 $6,再加上每小时 $2。哪一个式子是 h 小时的费用?

看讲解

$6 只出现一次,$2h 是按小时的费用。

准备好的题 · 你的选择只留在这一页。

把问题问得更准

一句你可以
改成自己的请求。

把这段跟你的这项任务一起贴进 Lirno。写上你的尝试,并说明哪里需要帮助。

帮我把这道出租车题写成模型。给我方程之前,先让我指出固定费用和每英里的单价。

快速检查质量

答案和题目情境的每一部分都相符吗?

  • 变量写的是所求的量
  • 每一项在题目情境里都有意思
  • 量和单位搭配正确
  • 答案满足原来的条件

常见问题

关于应用题的问题

应用题的方程,我该怎么列?

先定义未知数,给每个数一个量和单位,用符号之前先用文字把关系写出来。一笔 $12 的费用,加上每小时 $5,总共 $37,那么 12 + 5h = 37,得到 h = 5 小时。

我该看着关键词选运算吗?

一个词本身不够。「更多」可以是在说个数的比较,即便你后面用减法来解。先弄清每个量表示什么,以及这些量怎样连在一起。

为什么百分数一定要有一个基准量?

百分数是某一个量所占的比例。折扣可能按原价算,后面的税可能按优惠后的价钱算。每一阶段都把基准写出来,不要把这些百分数自动合在一起。

我什么时候该向上取整?

看情境。53 个学生,每辆车坐 12 人,需要五辆车,尽管 53/12 大约是 4.42。检查取整以后的答案,确实满足这道题。

检查基础

出处和延伸阅读

这一页上的例子是原创的教学练习。这些资料讲的是背后的概念。

由 Rocket Digital Limited 为 HomeworkPath 发布。 这些指南是怎么准备的 →

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给下一项任务
更多帮助。

把题目情境写成清楚的模型。

把题目文字和你的方程交给 Lirno,把列式走一遍。

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