At forenkle og at løse er forskellige job
At forenkle skriver et udtryk om uden at ændre dets værdi. For eksempel bliver 3x + 2x − 4 til 5x − 4, fordi 3x og 2x er ens led. Det giver ikke en værdi for x. At løse en ligning finder de værdier der gør to udtryk lige store: 5x − 4 = 11 giver x = 3. Tjek instruktionsordet, før du vælger hvad din sidste linje skal indeholde.
En identitet gælder for hver tilladt værdi af dens variabel. Udsagnet 2(x + 3) = 2x + 6 er en identitet for de reelle tal. En betinget ligning som 2x + 6 = 14 er kun sand i sin løsning. Forskellen betyder noget, når variablen forsvinder i din udregning: det betyder ikke automatisk at x = 0.
Løs ligninger med en variabel på begge sider
Se på 5x − 4 = 2x + 11. Træk 2x fra på begge sider for at samle de variable led: 3x − 4 = 11. Læg 4 til på begge sider: 3x = 15. Dividér med 3: x = 5. Tjekket bruger den oprindelige ligning: venstre side er 25 − 4 = 21, og højre side er 10 + 11 = 21.
To andre udfald er mulige. I 4x + 2 = 4x + 9 giver subtraktion af 4x den falske påstand 2 = 9, så der er ingen løsning. I 4x + 2 = 2(2x + 1) står der 2 = 2, når du har ganget ud og forenklet, så alle reelle x passer. Læs den resterende påstand, før du angiver en løsning.
Vælg hvornår du ganger parenteser ud
I 3(x − 2) = 15 giver division med 3 først x − 2 = 5, så x = 7. Ganger du ud først, får du 3x − 6 = 15, derefter 3x = 21 og x = 7. Begge veje bevarer ligheden. Her er det kortere at dividere først, fordi hele parentesen er ganget med det samme tal, som ikke er nul.
Når du ganger ind i parentesen, skal hvert led og dets tegn med: −2(x − 3) = −2x + 6. Sætter du et tal ind, kan du afsløre at parentesen er ganget forkert ud. For x = 4 giver det oprindelige udtryk −2, og −2x + 6 giver også −2. Det forkerte udtryk −2x − 6 giver −14. Én testværdi der passer, kan fange en fejl, men den beviser ikke i sig selv en identitet for alle x.
Fjern brøker uden at miste et led
For x/3 + 2 = 5 ganger du begge sider med 3. Hele venstre side bliver ganget, så du får x + 6 = 15 og dermed x = 9. Ganger du kun x/3, får du x + 2 = 15, som er en anden ligning. Tjek ved at sætte ind: 9/3 + 2 = 5.
Når en variabel står i en nævner, så notér de værdier der gør nævneren nul, før du ændrer ligningen. I 1/x = 2 kan x ikke være 0; løsningen er x = 1/2. Mere sammensatte brøkligninger kan give kandidater der bryder en oprindelig begrænsning, så behold startligningen til det sidste tjek.
Knyt grafen for en ret linje til dens ligning
I y = 2x + 1 er skæringen med y-aksen 1: sætter du x = 0, får du punktet (0, 1). Hældningen er 2, så y vokser med 2, når x vokser med 1. Punkterne (1, 3) og (2, 5) opfylder den samme sammenhæng. Aflæs aksernes skala, før du vurderer linjen ud fra stejlheden.
I et simpelt ligningssystem skærer y = x + 1 og y = 2x − 2 hinanden, hvor x + 1 = 2x − 2. Det giver x = 3 og y = 4. Tjek (3, 4) i begge de oprindelige ligninger. Et punkt der kun passer i den ene ligning, løser ikke systemet.
Spørg om den første overgang du ikke kan begrunde
Sammenlign linjerne 5x − 4 = 2x + 11 og 3x = 7. Det var fornuftigt at samle x-leddene, men konstanterne blev kombineret forkert. Trækker du 2x fra, får du 3x − 4 = 11; lægger du derefter 4 til, får du 3x = 15. Ret den overgang, før du tjekker resten af udregningen. Den rettede løsning er x = 5.
En anden faldgrube opstår, når du dividerer med et udtryk der indeholder den ubekendte. For x(x − 3) = 0 udelukker division med x i det skjulte at x = 0. Brug nulproduktets egenskab i stedet: x = 0 eller x − 3 = 0, så du får x = 0 eller x = 3. Begge værdier opfylder den oprindelige ligning. Før du dividerer, skal du afgøre om det du dividerer med, kan være nul.
Når du beder Lirno om at se på din udregning, så tag den oprindelige ligning med og de to linjer omkring den fejl du mistænker. Spørg hvilken operation der ændrer løsningsmængden. Det spørgsmål skelner en regnefejl fra en omskrivning der mister en gyldig løsning.
