Vereinfachen und Lösen sind verschiedene Aufgaben
Vereinfachen schreibt einen Ausdruck um, ohne seinen Wert zu ändern. Aus 3x + 2x − 4 wird zum Beispiel 5x − 4, weil 3x und 2x gleichartige Terme sind. Dabei kommt kein Wert für x heraus. Eine Gleichung lösen heißt, die Werte zu finden, bei denen zwei Ausdrücke gleich sind: 5x − 4 = 11 ergibt x = 3. Schau aufs Aufgabenwort, bevor du festlegst, was in deiner letzten Zeile stehen soll.
Eine Identität gilt für jeden erlaubten Wert ihrer Variablen. Die Aussage 2(x + 3) = 2x + 6 ist eine Identität über den reellen Zahlen. Eine Bestimmungsgleichung wie 2x + 6 = 14 stimmt nur bei ihrer Lösung. Der Unterschied zählt, wenn die Variable in deiner Rechnung verschwindet: Das heißt nicht automatisch x = 0.
Gleichungen mit der Variablen auf beiden Seiten lösen
Schau dir 5x − 4 = 2x + 11 an. Zieh auf beiden Seiten 2x ab, um die Variablenterme zu sammeln: 3x − 4 = 11. Addiere auf beiden Seiten 4: 3x = 15. Teile durch 3: x = 5. Die Probe nutzt die Ausgangsgleichung: Links steht 25 − 4 = 21, rechts steht 10 + 11 = 21.
Zwei andere Ausgänge sind möglich. Bei 4x + 2 = 4x + 9 bleibt nach dem Abziehen von 4x die falsche Aussage 2 = 9, also gibt es keine Lösung. Bei 4x + 2 = 2(2x + 1) bleibt nach Auflösen und Vereinfachen 2 = 2, also passt jedes reelle x. Lies die restliche Aussage, bevor du eine Lösung angibst.
Entscheiden, wann du Klammern auflöst
Bei 3(x − 2) = 15 bleibt nach dem Teilen durch 3 zuerst x − 2 = 5, also x = 7. Zuerst auflösen ergibt 3x − 6 = 15, dann 3x = 21 und x = 7. Beide Wege erhalten die Gleichheit. Zuerst teilen ist hier kürzer, weil die ganze Klammer mit derselben Zahl ungleich null multipliziert ist.
Beim Ausmultiplizieren muss jeder Term mit seinem Vorzeichen dabei sein: −2(x − 3) = −2x + 6. Einsetzen kann ein falsches Auflösen zeigen. Bei x = 4 ergibt der ursprüngliche Ausdruck −2, und −2x + 6 ergibt ebenfalls −2. Der falsche Ausdruck −2x − 6 ergibt −14. Ein passender Testwert kann einen Fehler aufdecken, beweist aber für sich noch keine Identität für jedes x.
Brüche beseitigen, ohne einen Term zu verlieren
Bei x/3 + 2 = 5 multiplizierst du beide Seiten mit 3. Die ganze linke Seite wird multipliziert, das ergibt x + 6 = 15, also x = 9. Nur x/3 zu multiplizieren ergäbe x + 2 = 15, und das ist eine andere Gleichung. Probe durch Einsetzen: 9/3 + 2 = 5.
Steht eine Variable im Nenner, notiere zuerst die Werte, die diesen Nenner 0 machen, bevor du die Gleichung veränderst. Bei 1/x = 2 darf x nicht 0 sein; die Lösung ist x = 1/2. Kompliziertere Bruchgleichungen können Kandidaten liefern, die eine ursprüngliche Einschränkung verletzen. Behalte die Ausgangsgleichung für die letzte Probe.
Eine Gerade mit ihrer Gleichung verbinden
Bei y = 2x + 1 ist der y-Achsenabschnitt 1. Für x = 0 ergibt sich der Punkt (0, 1). Die Steigung ist 2, das heißt, y wächst um 2, wenn x um 1 wächst. Die Punkte (1, 3) und (2, 5) erfüllen denselben Zusammenhang. Lies die Skalierung der Achsen, bevor du die Gerade nach ihrer optischen Steilheit beurteilst.
Bei einem einfachen System schneiden sich y = x + 1 und y = 2x − 2 dort, wo x + 1 = 2x − 2. Das ergibt x = 3 und y = 4. Prüfe (3, 4) in beiden Ausgangsgleichungen. Ein Punkt, der nur in einer Gleichung passt, löst das System nicht.
Nach dem ersten Übergang fragen, den du nicht begründen kannst
Vergleich die Zeilen 5x − 4 = 2x + 11 und 3x = 7. Die x-Terme zu sammeln war sinnvoll, aber die Konstanten wurden falsch zusammengefasst. 2x abziehen ergibt 3x − 4 = 11; 4 addieren ergibt dann 3x = 15. Korrigier diesen Übergang, bevor du den Rest der Rechnung prüfst. Die korrigierte Lösung ist x = 5.
Eine andere Gefahr entsteht, wenn du durch einen Ausdruck mit der Unbekannten teilst. Bei x(x − 3) = 0 schließt Teilen durch x stillschweigend x = 0 aus. Nimm stattdessen den Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x − 3 = 0, also x = 0 oder x = 3. Beide Werte erfüllen die Ausgangsgleichung. Entscheide vor dem Teilen, ob der Teiler 0 sein kann.
Wenn du Lirno bittest, deinen Rechenweg anzusehen, nimm die Ausgangsgleichung und die zwei Zeilen um den vermuteten Fehler mit. Frag, welche Operation die Lösungsmenge verändert. Diese Frage trennt einen Rechenfehler von einer Umformung, die eine gültige Lösung verliert.
