Die markierten Angaben in der Figur lesen
Ein gedrucktes Dreieck muss nicht maßstabsgetreu sein. Nutze die angegebenen Längen, Winkelwerte und üblichen Markierungen. Ein kleines Quadrat legt einen rechten Winkel fest; gleiche Strichmarken zeigen gleiche Längen. Pfeile an Parallelen geben einen Zusammenhang, der einen Winkelsatz begründen kann. Ein Winkel, der nur rechtwinklig aussieht, reicht nicht.
Trenn gegebene Angaben von Folgerungen. Wenn du beweisen sollst, dass zwei Seiten gleich sind, kann ihr Aussehen nicht der Beweis sein. Wenn du Lirno ein Foto schickst, nimm die Aufgabenstellung und alle Markierungen mit, damit die Erklärung dieselben Angaben nutzt wie du.
Hypotenuse oder fehlende Kathete finden
Der Satz des Pythagoras gilt für ein rechtwinkliges Dreieck: a² + b² = c², wobei c dem rechten Winkel gegenüberliegt. Bei Katheten von 6 cm und 8 cm gilt c² = 36 + 64 = 100, also c = 10 cm. Für eine geometrische Länge nimmst du die positive Wurzel. Das Ergebnis muss länger sein als jede Kathete.
Ist die Hypotenuse 17 cm und eine Kathete 8 cm, erfüllt die andere Kathete b die Gleichung b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225. Damit ist b = 15 cm. Quadrate zu addieren wäre der falsche Ansatz, weil 17 cm schon die Hypotenuse ist. Beschrifte die Seiten, bevor du einsetzt.
Dreieckswinkel und Winkel an der Geraden nutzen
Die Innenwinkel eines Dreiecks in der gewöhnlichen ebenen Geometrie ergeben zusammen 180°. Sind zwei davon 48° und 67°, ist der dritte 180° − 48° − 67° = 65°. Zwei benachbarte Winkel, die eine Gerade bilden, ergeben ebenfalls zusammen 180°. Ein Winkel von 112° an dieser Geraden lässt für den benachbarten Winkel 68° übrig.
Wähl die Regel nicht allein nach den Zahlen. Erkenn in der Figur das Dreieck oder die Gerade. Wenn Parallelen gegeben sind, sag, welche Stufenwinkel oder Wechselwinkel du nutzt. Eine schriftliche Begründung verbindet die Winkelrechnung mit den Bedingungen, die sie gültig machen.
Seiten zuordnen, bevor du die Ähnlichkeit nutzt
Ähnliche Dreiecke haben gleiche entsprechende Winkel und entsprechende Seiten im selben Verhältnis. Angenommen, AB entspricht DE, mit AB = 4 cm und DE = 10 cm. Der Streckfaktor vom ersten Dreieck zum zweiten ist 10/4 = 2,5. Entspricht BC = 6 cm der Seite EF, dann ist EF = 6 × 2,5 = 15 cm.
Halt die Richtung des Verhältnisses fest. Zurück vom größeren zum kleineren Dreieck teilst du durch 2,5. Längen werden mit dem Faktor multipliziert, Flächeninhalte mit seinem Quadrat: Der Faktor 2,5 bei entsprechenden Längen gibt den Flächenfaktor 6,25. Drehen ändert nicht, welche beschrifteten Teile einander entsprechen.
Flächeninhalt und Umfang unterscheiden
Bei einem Rechteck mit 7 cm Länge und 3 cm Breite ist der Flächeninhalt 7 × 3 = 21 cm². Der Umfang ist 2(7 + 3) = 20 cm. Der Flächeninhalt misst die eingeschlossene Fläche, der Umfang ihren Rand. Die beiden Antworten können zahlenmäßig nah beieinanderliegen und trotzdem verschiedene Größen beschreiben.
Beim Dreieck ist der Flächeninhalt die Hälfte aus Grundseite mal senkrechter Höhe. Eine Grundseite von 10 cm und eine senkrechte Höhe von 4 cm ergeben 20 cm². Eine schräge Seite kann die Höhe nur ersetzen, wenn sie auf der gewählten Grundseite senkrecht steht. Auch eine Höhe außerhalb des Dreiecks kann die richtige Höhe sein.
Einen Beweis als verbundene Aussagen schreiben
Ein Beweis braucht für jede Folgerung eine Begründung. Bei einem gleichschenkligen Dreieck mit zwei gegebenen gleichen Seiten sind die Winkel gegenüber diesen Seiten gleich. Ist der übrige Winkel 40°, teilen sich die gleichen Winkel die restlichen 140°, also je 70°. Die Bedingung gleicher Seiten begründet die Aussage gleicher Winkel.
Bitte Lirno, die erste unbelegte Aussage in deinem Beweis zu finden, statt den ganzen Beweis zu ersetzen. Prüfe die Bedingungen des Satzes, die Zuordnung der Beschriftungen und die Einheiten der Endgröße. Eine nützliche Erklärung sagt, warum ein Zusammenhang gilt, bevor sie die Rechnung ausführt.
Prüfen, ob die Angaben eine Antwort festlegen
Zwei Seitenlängen allein legen kein Dreieck fest. Seiten von 6 cm und 8 cm ergeben eine Hypotenuse von 10 cm nur, wenn der Winkel zwischen ihnen als 90° angegeben ist. Ist eine dritte Seite c nicht festgelegt, verlangt die Dreiecksungleichung 2 < c < 14 cm; sie wählt keine einzelne Länge. Lies die Markierung für den rechten Winkel, bevor du das Beispiel als Aufgabe zum Satz des Pythagoras behandelst.
Eine Prüfung auf eine eindeutige Antwort hilft auch beim Flächeninhalt. Ein Dreieck mit Grundseite 10 cm braucht seine senkrechte Höhe, damit der Flächeninhalt festliegt. Eine schräge Seite von 6 cm allein lässt sich nicht als diese Höhe einsetzen. Sieht die Figur nach einer Antwort aus, die Beschriftung aber nicht, erklär, welche zusätzliche Angabe du brauchst, statt aus dem Bild zu schätzen.
