간단히 하기와 풀기는 다른 일
간단히 하기는 값을 바꾸지 않고 식을 다시 쓰는 일이에요. 예를 들어 3x + 2x − 4는 5x − 4가 돼요. 3x와 2x가 동류항이기 때문이에요. x의 값이 나오지는 않아요. 방정식을 풀면, 두 식을 같게 만드는 값을 찾아요. 5x − 4 = 11이면 x = 3이 돼요. 마지막 줄에 무엇을 적을지 고르기 전에 문제의 지시를 확인해요.
항등식은 문자의 허용된 값마다 성립해요. 2(x + 3) = 2x + 6은 실수 전체에서 항등식이에요. 2x + 6 = 14 같은 조건부 방정식은 그 해에서만 참이에요. 이 차이는 풀이 도중에 문자가 사라질 때 중요해요. 사라졌다고 해서 바로 x = 0은 아니에요.
양변에 문자가 있는 방정식 풀기
5x − 4 = 2x + 11을 봐요. 문자항을 모으려고 양변에서 2x를 빼면 3x − 4 = 11이에요. 양변에 4를 더하면 3x = 15예요. 3으로 나누면 x = 5가 돼요. 확인은 원래 방정식을 써요. 왼쪽은 25 − 4 = 21이고, 오른쪽은 10 + 11 = 21이에요.
다른 결과도 가능해요. 4x + 2 = 4x + 9에서 4x를 빼면 거짓인 식 2 = 9가 남아서, 해가 없어요. 4x + 2 = 2(2x + 1)은 전개하고 간단히 하면 2 = 2가 남아서, 모든 실수 x가 해가 돼요. 해를 적기 전에 남은 식을 읽어요.
괄호를 언제 풀지 고르기
3(x − 2) = 15에서 먼저 3으로 나누면 x − 2 = 5가 되어 x = 7이 돼요. 먼저 전개하면 3x − 6 = 15, 그다음 3x = 21, x = 7이 돼요. 두 길 모두 등식을 지켜요. 여기서는 먼저 나누는 쪽이 더 짧아요. 괄호 전체에 같은 0이 아닌 수가 곱해져 있기 때문이에요.
분배에는 모든 항과 그 부호가 들어가야 해요. −2(x − 3) = −2x + 6이에요. 대입하면 잘못된 전개가 드러날 수 있어요. x = 4에서 원래 식은 −2예요. −2x + 6도 −2예요. 잘못된 식 −2x − 6은 −14예요. 들어맞는 값 하나가 실수를 잡아 줄 수는 있지만, 그것만으로 모든 x에 대한 항등식이 증명되지는 않아요.
항을 잃지 않고 분수 없애기
x/3 + 2 = 5에서는 양변에 3을 곱해요. 왼쪽 전체에 곱하면 x + 6 = 15가 되어 x = 9가 돼요. x/3에만 곱하면 x + 2 = 15가 되는데, 이것은 다른 방정식이에요. 대입으로 확인하면 9/3 + 2 = 5예요.
문자가 분모에 있으면, 방정식을 바꾸기 전에 그 분모를 0으로 만드는 값을 적어요. 1/x = 2에서 x는 0일 수 없고, 해는 x = 1/2이에요. 더 복잡한 분수 방정식은 원래 제한을 깨는 후보를 만들 수 있으니, 마지막 확인을 위해 처음 방정식을 남겨 둬요.
직선 그래프와 방정식 잇기
y = 2x + 1에서 절편은 1이에요. x = 0으로 두면 점 (0, 1)이 나와요. 기울기는 2예요. x가 1 커지면 y가 2 커진다는 뜻이에요. 점 (1, 3)과 (2, 5)도 같은 관계를 만족해요. 눈으로 본 가파름만으로 직선을 판단하기 전에 축 눈금을 읽어요.
간단한 연립방정식에서 y = x + 1과 y = 2x − 2는 x + 1 = 2x − 2인 곳에서 만나요. 그러면 x = 3, y = 4예요. (3, 4)를 원래 방정식 두 개에 넣어 확인해요. 한 방정식에서만 맞는 점은 연립방정식의 해가 아니에요.
이유를 댈 수 없는 첫 단계 묻기
5x − 4 = 2x + 11과 3x = 7, 이 두 줄을 비교해요. x항을 모은 것은 괜찮은 선택이지만, 상수는 잘못 합쳐졌어요. 2x를 빼면 3x − 4 = 11이고, 그다음 4를 더하면 3x = 15예요. 남은 계산을 보기 전에 그 단계를 고쳐요. 고친 해는 x = 5예요.
미지수를 포함한 식으로 나눌 때는 다른 위험이 있어요. x(x − 3) = 0을 x로 나누면 x = 0이 드러나지 않은 채 빠져요. 대신 곱이 0인 성질을 써요. x = 0 또는 x − 3 = 0이므로, x = 0 또는 x = 3이에요. 두 값 모두 원래 방정식을 만족해요. 나누기 전에, 나누는 식이 0이 될 수 있는지 판단해요.
풀이를 Lirno가 보게 할 때는 원래 방정식과, 의심되는 오류 앞뒤의 두 줄을 넣어요. 어떤 연산이 해집합을 바꾸는지 물어봐요. 그 질문으로 계산 실수와, 맞는 해를 잃는 변형을 구분할 수 있어요.
