Für welche x ist die Wurzel aus x² gleich x?
Die Wurzel aus x² ist für jede reelle Zahl x gleich |x|. Für x ≥ 0 erhältst du x, für x < 0 dagegen −x. Deshalb darfst du Wurzel und Quadrat nicht ohne Blick auf das Vorzeichen streichen. Bei einem verschobenen Ausdruck wie x − 4 musst du sogar das Vorzeichen dieses ganzen Terms untersuchen. Hier lernst du eine vollständige Methode mit Papier und Stift: zusammengehörige Teile erkennen, zunächst den Betrag schreiben und erst dann die Angaben zum Intervall auswerten. Alle Rechenbeispiele und Übungsaufgaben sind eigens für diesen Artikel entwickelt.
Die Wurzel aus x² als nichtnegativen Wert lesen
Prüfe die vermeintliche Kürzung zuerst mit einer negativen Zahl. Setze x = −6 ein. Dann ergibt das Quadrieren x² = 36. Die mit dem Wurzelzeichen gemeinte Quadratwurzel aus 36 ist 6. Das Ergebnis stimmt also nicht mit dem eingesetzten x überein. Sowohl 6 als auch −6 haben das Quadrat 36; das Wurzelzeichen wählt den nichtnegativen Wert. Auch null gehört dazu, denn √0 = 0.
Die kleine Tabelle vergleicht drei Eingaben. Ein einziger positiver Test würde den Fehler verdecken. Bei der negativen Eingabe wird der Ausdruck unter der Wurzel trotzdem nicht negativ: Zuerst wird quadriert, anschließend die Wurzel genommen. Schreibe beim Einsetzen die negative Zahl in Klammern, damit diese Reihenfolge sichtbar bleibt und kein Minuszeichen vor das Quadrat rutscht.
| x | x² | √(x²) |
|---|---|---|
| −6 | 36 | 6 |
| 0 | 0 | 0 |
| 6 | 36 | 6 |
Die Fotos veranschaulichen Richtung, Länge und Zusammengehörigkeit durch Gegenstände. Sie liefern keine Messdaten und ersetzen keine Rechnung. Für einen breiteren Einstieg in die Schreibweise hilft der Leitfaden zu Algebra-Hausaufgaben. In dieser Aufgabe geht es gezielt darum, welches Vorzeichen nach dem Wurzelziehen zulässig ist.
Den Betrag begründen, bevor du ihn auflöst
Der Betrag einer reellen Zahl a ist ihr Abstand von null. Deshalb gilt |a| = a für a ≥ 0 und |a| = −a für a < 0. Im zweiten Fall ist −a nichtnegativ, gerade weil a negativ ist. Ein Minuszeichen vor einem Buchstaben bedeutet also nicht automatisch, dass der Wert des gesamten Ausdrucks negativ sein muss. Entscheidend ist, welche Zahl für den Buchstaben eingesetzt wird.
Damit lässt sich √(a²) = |a| knapp begründen. Der Wert |a| ist nichtnegativ, und sein Quadrat ist a². Genau diese beiden Eigenschaften kennzeichnen die mit dem Wurzelzeichen gemeinte Quadratwurzel. Nur das Quadrieren einer vorgeschlagenen Antwort reicht als Prüfung nicht aus: a und −a ergeben dasselbe Quadrat. Zusätzlich musst du kontrollieren, ob dein vorgeschlagener Wurzelwert nichtnegativ ist.
Das Wurzelskript von Franz Embacher auf mathe online erläutert diese Festlegung einschließlich des Falls null. Praktisch bedeutet sie: Lass die Betragsstriche zunächst stehen. Eine positive Variable darfst du nur voraussetzen, wenn die Aufgabe oder die ausdrücklich genannte Konvention des Lehrbuchs das tatsächlich festlegt. Die bloße Wurzelschreibweise liefert diese Voraussetzung nicht.
Einen verschobenen Term als Einheit behandeln
Betrachte E(x) = √(9(x − 4)²). Der Ausdruck unter der Wurzel lässt sich als [3(x − 4)]² schreiben. Deshalb ist E(x) = |3(x − 4)| = 3|x − 4|. Der Faktor 3 darf ohne Betrag davorstehen, weil er positiv ist. Untersuchen musst du nun das Vorzeichen von x − 4. Das Vorzeichen von x allein genügt nicht: Auch eine positive Zahl kann nach dem Abziehen von vier einen negativen Wert ergeben.
Für x = 1 erhältst du im ursprünglichen Ausdruck 9 · (−3)² = 81 und somit E(1) = 9. Die vereinfachte Schreibweise 3(x − 4) würde dagegen −9 liefern. Sie scheitert bereits daran, dass eine Quadratwurzel nichtnegativ sein muss. Für x = 6 ist der Radikand 36, das Ergebnis also 6. Bei x = 4 ist das Ergebnis null. Hier liegt die entscheidende Grenze.
Verteile den Betrag nicht auf die Subtraktion. |x − 4| ist im Allgemeinen nicht |x| − 4. Bei x = 1 steht links 3, rechts aber −3. Markiere in deinen Notizen den ganzen inneren Term mit einer Klammer oder einem Rahmen. So bleibt klar, welche Einheit quadriert wurde und anschließend als Betrag erscheint.
Das vorgegebene Intervall für die Fallwahl nutzen
Links von vier ist x − 4 negativ; ab vier ist der Ausdruck nichtnegativ. Damit gilt E(x) = 12 − 3x für x < 4 und E(x) = 3x − 12 für x ≥ 4. Am Übergang liefern beide Formeln null. Du darfst diesen Randpunkt auch dem anderen Fall zuordnen, solange deine Bedingungen ihn eindeutig erfassen und kein erlaubter Wert verloren geht.
Steht in der Aufgabe x ≤ 1, liegen sämtliche erlaubten Eingaben links von vier. Auf diesem Bereich kannst du durchgehend E(x) = 12 − 3x schreiben. Bei 2 ≤ x ≤ 7 liegt die Grenze vier dagegen mitten im angegebenen Intervall. Ein einziger Zweig reicht dann nicht für den gesamten Bereich. Behalte 3|x − 4| oder gib beide Fälle mit den entsprechend eingeschränkten Teilintervallen an.
Die Wahl richtet sich nach dem Vorzeichen, nicht nach der kürzeren Schreibweise. Prüfe einen zulässigen Wert auf jeder Seite der Grenze und den Randpunkt selbst. Der Leitfaden zum Bearbeiten von Matheaufgaben erklärt das allgemeine Vorgehen von Ansatz und Probe. Hier sind besonders die vollständig angegebene Bedingung und die Rückkehr zum ursprünglichen Wurzelterm wichtig.
Probiere den nächsten Schritt mit deiner Aufgabe.
Bring deine Aufgabe und deinen Versuch in Lirno ein. Bitte um einen Hinweis, besprich die Begründung und probiere den nächsten Schritt selbst.
Die Reihenfolge von Wurzel und Quadrat unterscheiden
Vergleiche √(x²) und (√x)² im Bereich der reellen Zahlen. Im ersten Ausdruck wird x zuerst quadriert. Der Radikand ist dadurch für jedes reelle x nichtnegativ; anschließend erhältst du |x|. Im zweiten Ausdruck muss dagegen zuerst √x existieren. Dafür brauchst du x ≥ 0. Erst auf diesem Definitionsbereich liefert das anschließende Quadrieren wieder x.
Setze x = −6 ein: Der erste Ausdruck hat den Wert 6, der zweite ist über den reellen Zahlen nicht definiert. Für x = 9 ergeben beide den Wert 9. Eine Übereinstimmung bei positiven Eingaben beweist also nicht, dass die beiden Ausdrücke denselben Definitionsbereich haben. Lies die Reihenfolge bei Bedarf laut: erst Quadrat, dann Wurzel; oder erst Wurzel, dann Quadrat.
Eine gültige Umformung muss zu den erlaubten Eingaben passen. Liefert die neue Schreibweise an einer Stelle eine Zahl, an der der ursprüngliche Ausdruck gar nicht definiert ist, sind die zugehörigen Funktionen dort nicht gleichwertig. Notiere deshalb Definitionsbereich und Ergebnis getrennt. Zwei scheinbar entgegengesetzte Rechenzeichen zu streichen ersetzt weder die Prüfung der Reihenfolge noch die Prüfung der Voraussetzungen.
Erkennen, welche Größe tatsächlich quadriert wurde
Bei √(x⁴) kannst du den Radikanden als (x²)² schreiben. Daraus folgt |x²| = x², weil x² für jede reelle Zahl bereits nichtnegativ ist. Hier dürfen die Betragsstriche also verschwinden, ohne dass x selbst nichtnegativ sein muss. Bei √(x⁶) ist die innere quadrierte Größe dagegen x³. Du erhältst |x³|; bei negativem x ist x³ ebenfalls negativ, sodass das Weglassen des Betrags eine zusätzliche Bedingung braucht.
Für x = −2 gilt √(x⁴) = √16 = 4 = x². Gleichzeitig ist √(x⁶) = √64 = 8, während x³ = −8 ergibt. Dieses Zahlenpaar trennt die beiden Situationen deutlich. Die äußere Wurzel bleibt gleich, aber das Vorzeichen der inneren Größe unterscheidet sich. Bestimme diese Größe, bevor du mit einer Potenzregel abkürzt.
Die Darstellung variabler Wurzelausdrücke bei OpenStax unterstützt diese Unterscheidung. Eine Summe lässt sich dagegen nicht einfach aufteilen: Bei x = 4 ergibt √(x² + 9) den Wert 5, während |x| + 3 den Wert 7 liefert. Prüfe immer, ob tatsächlich der gesamte Radikand ein Quadrat ist.
Bei einem Quotienten den Ausschluss erhalten
Eine verwandte Aufgabe lautet R(x) = √((x − 4)²)/(x − 4). Im Zähler steht nach der Vereinfachung |x − 4|. Der Nenner schließt x = 4 weiterhin aus. Für x > 4 stimmen Zähler und Nenner überein, also ist R(x) = 1. Für x < 4 ist der Zähler −(x − 4); der Quotient beträgt dort −1. Bei vier bleibt der ursprüngliche Ausdruck undefiniert.
Die Behauptung, der Quotient sei überall eins, verwechselt einen Betrag mit dem vorzeichenbehafteten Term. Der Wert null bei vier würde wiederum eine Division durch null übergehen. Rechne R(1) = 3/(−3) = −1 und R(6) = 2/2 = 1 unmittelbar nach. Einen vereinfachten Zweig darfst du nicht nachträglich an einer Stelle verwenden, die seine Herleitung ausdrücklich ausgeschlossen hat.
Benenne nach einer falschen Probe den Fehler möglichst genau: fehlender Betrag, falsches inneres Vorzeichen, übersehene Klammer oder verlorener Ausschluss. Die Methode zur Fehlerauswertung hilft, daraus einen neuen Versuch abzuleiten. Eine vollständige Korrektur nennt auch die Bedingung, unter der die reparierte Zeile gilt. Zusätzliche Betragsstriche ohne Begründung zeigen noch kein Verständnis.
Mit einer neuen Aufgabe selbst entscheiden
Bearbeite nun H(t) = √((2t + 6)²) ohne den vorherigen Lösungsweg anzusehen. Schreibe zuerst eine Form, die für alle reellen t gilt. Löse anschließend den Betrag unter der Voraussetzung t < −3 auf. Entscheide zuletzt, ob derselbe Zweig auch das gesamte Intervall −5 ≤ t ≤ 0 beschreibt. Halte mindestens eine eigene Einsetzprobe fest, bevor du die folgenden Ergebnisse vergleichst.
Allgemein gilt H(t) = |2t + 6|. Für t < −3 ist der innere Term negativ, daher folgt H(t) = −2t − 6. Bei t = −5 ergibt das 4, passend zu √16. Für t = 0 liefert der ursprüngliche Ausdruck dagegen 6; der linke Zweig würde fälschlich −6 ergeben. Das Intervall von −5 bis null überschreitet die Grenze −3 und braucht deshalb beide Fälle. Am Übergang gilt H(−3) = 0.
Erkläre zum Abschluss, warum |x²| für alle reellen x zu x² wird, |x − 4| aber nicht ohne Bedingung zu x − 4. Nenne jeweils die vollständige innere Größe und begründe ihr Vorzeichen. Damit hast du eine übertragbare Methode: zusammenfassen, den Betrag erhalten, die gegebenen Vorzeicheninformationen anwenden und den ursprünglichen Ausdruck prüfen.
Fragen zu dieser Methode
Ist die Wurzel aus x² gleich plus oder minus x?
Der Ausdruck besitzt genau einen nichtnegativen Wert, nämlich |x|. Die Gleichung y² = x² stellt eine andere Frage und hat für x ungleich null zwei verschiedene Lösungen. Bei x = 0 fallen diese beiden Möglichkeiten zusammen.
Darf ich Variablen unter einer Wurzel als positiv ansehen?
Nur wenn die Aufgabe oder eine ausdrücklich geltende Lehrbuchkonvention das vorgibt. Bei √(x²) ist der Radikand bereits für jedes reelle x nichtnegativ. Daraus folgt keine zusätzliche Einschränkung auf nichtnegative Eingaben.
Welche Probe ist bei einem vereinfachten Wurzelterm sinnvoll?
Prüfe Definitionsbereich, Nichtnegativität des Ergebnisses und dessen Quadrat. Verwende außerdem eine Eingabe mit negativem inneren Term sowie einen Randpunkt. Eine einzelne positive Einsetzprobe beweist keine allgemeine Identität.