Quand la racine carrée de x² est-elle égale à x ?
La racine carrée de x² vaut |x| pour tout réel x. Elle vaut donc x si x est positif ou nul, et −x si x est strictement négatif. Cette distinction devient indispensable lorsque le signe est inconnu ou que le carré porte sur une expression comme x − 4. Ce guide propose une méthode complète à faire sur papier : repérer la quantité entière, conserver sa valeur absolue puis utiliser les conditions de l’énoncé. Les exemples et les exercices sont originaux et accompagnés de leurs vérifications.
Lire la racine carrée de x² comme une grandeur non négative
Pour tester l’idée d’une annulation automatique, prends x = −6. Le carré vaut alors 36, puis la racine carrée de 36 vaut 6. Le résultat n’est donc pas le nombre x de départ. Les nombres 6 et −6 ont le même carré, mais le symbole de racine carrée désigne la valeur non négative. Le cas zéro reste inclus : √0 = 0.
Le tableau compare trois substitutions. Un seul essai avec un nombre positif aurait caché le problème. Une valeur négative de x ne rend pas ici le radicand négatif, puisque le carré est calculé avant la racine. Entoure le nombre négatif de parenthèses lorsque tu le remplaces dans x², afin de conserver l’ordre exact des opérations.
| x | x² | √(x²) |
|---|---|---|
| −6 | 36 | 6 |
| 0 | 0 | 0 |
| 6 | 36 | 6 |
Les objets photographiés illustrent la direction, la longueur et le regroupement. Ce ne sont ni des graphiques ni des données numériques. Les vérifications reposent sur les expressions écrites. Pour revoir plus largement le sens des symboles, le guide des devoirs d’algèbre propose un point de départ complémentaire.
Justifier la valeur absolue avant de la supprimer
La valeur absolue d’un réel a représente sa distance à zéro. On a |a| = a si a ≥ 0 et |a| = −a si a < 0. Dans le second cas, −a est bien non négatif puisque a est négatif. Un signe moins placé devant une lettre n’impose donc pas, à lui seul, que le résultat soit négatif. Il faut connaître le signe de la quantité qu’il précède.
Voici une justification de √(a²) = |a| : le nombre |a| est non négatif et son carré vaut a². Ces deux propriétés désignent précisément la racine carrée de a². Vérifier seulement le carré d’une réponse proposée ne suffit pas, car a et −a possèdent le même carré. Il faut aussi vérifier que la valeur proposée pour la racine est non négative.
Le document de calculs élémentaires de l’Université Lyon 1 rappelle cette identité et l’interprétation de la valeur absolue comme distance. Dans une solution, conserve les barres tant que tu n’as pas établi le signe de l’expression entière. Une hypothèse de positivité doit venir de l’énoncé ou d’une convention explicitement annoncée.
Garder une expression décalée dans un seul bloc
Étudions E(x) = √(9(x − 4)²). Le radicand s’écrit [3(x − 4)]². La racine est donc |3(x − 4)| = 3|x − 4|, car le facteur 3 est positif. La quantité dont le signe doit être déterminé est x − 4, et pas simplement x. Un x positif peut très bien donner un x − 4 négatif.
Pour x = 1, le radicand initial vaut 9 × (−3)² = 81, d’où E(1) = 9. La proposition 3(x − 4) donnerait −9 : elle échoue immédiatement puisque le résultat d’une racine carrée doit être non négatif. Pour x = 6, le radicand vaut 36 et le résultat vaut 6. Enfin, E(4) = 0. La frontière utile se trouve donc en quatre.
Ne distribue pas la valeur absolue sur une soustraction. En général, |x − 4| n’est pas égal à |x| − 4. Avec x = 1, on obtient respectivement 3 et −3. Dans tes notes, encadre l’expression complète avant d’en prendre la valeur absolue. Le cadre permet de garder ensemble les termes qui formaient la quantité élevée au carré.
Utiliser l’intervalle pour choisir le bon morceau
Si x < 4, alors x − 4 est négatif et E(x) = 12 − 3x. Si x ≥ 4, alors E(x) = 3x − 12. Les deux formules donnent zéro en quatre. Il est possible d’attribuer ce point frontière à l’autre morceau, à condition de couvrir tous les cas autorisés et d’indiquer clairement les conditions retenues.
Si l’énoncé impose x ≤ 1, toutes les valeurs autorisées se trouvent à gauche de quatre. La formule E(x) = 12 − 3x convient sur tout ce domaine. Si l’intervalle donné est 2 ≤ x ≤ 7, il traverse la frontière quatre. Une seule des deux formules ne peut plus représenter l’expression partout. Garde 3|x − 4| ou précise les deux morceaux sur les sous-intervalles concernés.
Ce choix repose sur un signe établi, pas sur la préférence pour une écriture plus courte. Teste une valeur permise de chaque côté et examine le point frontière séparément. Le guide de résolution des problèmes de maths développe la démarche générale de préparation et de contrôle. Ici, le contrôle doit toujours respecter l’intervalle écrit dans la consigne.
Essaie la prochaine étape avec ton exercice.
Apporte ton exercice et ta tentative dans Lirno. Demande un indice, discute du raisonnement, puis essaie la prochaine étape par toi-même.
Distinguer les deux ordres de calcul
Compare √(x²) et (√x)² dans les nombres réels. Dans la première expression, on élève x au carré avant de prendre la racine. Tout réel x est autorisé, et le résultat est |x|. Dans la seconde, il faut d’abord pouvoir calculer √x. Cela exige x ≥ 0 ; sur ce domaine seulement, le carré du résultat redonne x.
Pour x = −6, la première expression vaut 6 et la seconde n’a pas de valeur réelle. Pour x = 9, elles valent toutes les deux 9. Un accord sur des valeurs positives ne prouve donc pas que leurs domaines réels sont identiques. Dis l’ordre à voix haute si les deux écritures se ressemblent : carré puis racine, ou racine puis carré.
Une identité algébrique doit préciser les entrées auxquelles elle s’applique. Une nouvelle formule qui fournit un nombre là où l’ancienne expression n’est pas définie ne conserve pas la même fonction. Sépare dans ta copie le domaine et la valeur obtenue. Barrer visuellement un exposant et un symbole de racine ne remplace ni l’examen de l’ordre des opérations ni celui de leurs conditions.
Identifier la quantité réellement élevée au carré
Pour √(x⁴), écris le radicand sous la forme (x²)². La racine vaut |x²| = x², puisque x² est déjà non négatif pour tout réel x. Les barres peuvent donc disparaître sans supposer que x lui-même est positif. Pour √(x⁶), la quantité intérieure élevée au carré est x³. Le résultat vaut |x³|, et supprimer les barres demande cette fois une information sur le signe.
Avec x = −2, on a √(x⁴) = √16 = 4 = x². En revanche, √(x⁶) = √64 = 8 alors que x³ = −8. Cette comparaison est utile : la racine extérieure reste la même, mais le signe de la quantité intérieure change. Cherche cette quantité avant de raccourcir le calcul à l’aide d’une règle sur les puissances.
Le chapitre OpenStax sur les expressions avec des racines fournit un complément sur cette convention. Une somme demande un autre contrôle : √(x² + 9) ne se transforme pas en |x| + 3. Pour x = 4, ces deux écritures donnent 5 et 7. La racine carrée ne se distribue pas sur l’addition.
Conserver les valeurs exclues dans un quotient
Considère maintenant R(x) = √((x − 4)²)/(x − 4). Le numérateur devient |x − 4|, mais le dénominateur continue d’exclure x = 4. Lorsque x > 4, le numérateur égale le dénominateur et R(x) = 1. Lorsque x < 4, le numérateur vaut −(x − 4) et le quotient vaut −1. En quatre, l’expression initiale reste indéfinie.
Dire que ce quotient vaut toujours un confond une grandeur et une quantité signée. Lui attribuer zéro en quatre oublie la division par zéro. Vérifie directement R(1) = 3/(−3) = −1 et R(6) = 2/2 = 1. N’emploie pas une formule simplifiée à une valeur que sa propre démonstration avait exclue.
Après une vérification qui échoue, nomme précisément l’erreur : valeur absolue manquante, mauvais signe intérieur, parenthèses oubliées ou exclusion perdue. La méthode d’analyse des erreurs aide à transformer ce diagnostic en nouvel essai. Une correction complète indique aussi la condition qui rend la ligne réparée vraie. Ajouter des barres partout où apparaît une racine ne démontre pas que le raisonnement est compris.
Prendre une nouvelle décision sans recopier le modèle
Essaie H(t) = √((2t + 6)²) sans regarder le calcul de E. Écris d’abord une forme valable pour tout réel t. Supprime ensuite les barres sous la condition t < −3. Enfin, décide si le même morceau convient sur tout l’intervalle −5 ≤ t ≤ 0. Effectue au moins une substitution personnelle avant de comparer ton résultat à la vérification suivante.
La forme générale est |2t + 6|. Pour t < −3, l’expression intérieure est négative, donc H(t) = −2t − 6. En t = −5, cette formule donne 4, comme √16. En t = 0, la valeur initiale est 6 alors que ce morceau donnerait −6. L’intervalle de −5 à zéro traverse la frontière −3 et nécessite donc les deux cas. Au point frontière, H(−3) = 0.
Pour finir, explique pourquoi |x²| devient x² pour tout réel, tandis que |x − 4| ne devient pas x − 4 sans condition. Nomme la quantité intérieure entière et justifie son signe. Tu disposes ainsi d’une méthode réutilisable : regrouper, conserver la grandeur, appliquer les informations de signe puis contrôler l’expression initiale.
Questions sur cette méthode
La racine carrée de x² vaut-elle plus ou moins x ?
Cette expression désigne une seule valeur non négative, |x|. L’équation y² = x² pose une autre question et peut admettre deux solutions distinctes si x est non nul. Pour x = 0, les deux possibilités se confondent.
Peut-on supposer qu’une variable sous une racine est positive ?
Seulement si l’énoncé ou une convention explicite le précise. Dans √(x²), le radicand est non négatif pour tout réel x : le symbole de racine n’impose donc pas ici une entrée non négative.
Comment contrôler une simplification de racine carrée ?
Vérifie le domaine, le caractère non négatif du résultat et son carré. Teste aussi une valeur rendant la quantité intérieure négative et un point frontière. Un seul essai positif ne prouve pas une identité générale.