Ein Histogramm mit ungleichen Klassenbreiten richtig lesen
Ein Histogramm mit ungleichen Klassenbreiten stellt Häufigkeiten durch Flächen dar. Die Höhen zeigen die Häufigkeitsdichte: Anzahl geteilt durch Klassenbreite. Willst du die Anzahl in zwei Intervallen vergleichen, multiplizierst du jede Höhe mit ihrer eigenen Breite. An einem erfundenen Beispiel lernst du, diese Größen auseinanderzuhalten und die Grenzen gruppierter Daten zu erkennen.
Ein Histogramm mit ungleichen Klassenbreiten braucht eine Dichteskala
Lies zuerst, welche Größe die waagerechte Achse beschreibt. In unserem Beispiel ist es die Bearbeitungsdauer einer Tätigkeit. Jedes Rechteck umfasst deshalb ein Zahlenintervall. Ein Säulendiagramm für benannte Kategorien, etwa verschiedene Materialien, erfüllt eine andere Aufgabe: Dort sind gleich breite Plätze für die Kategorien möglich, ohne dass diese Breite ein Zeitintervall bezeichnet. Im Histogramm trägt die Breite selbst eine Bedeutung.
Prüfe danach die senkrechte Achse. Wir verwenden die absolute Häufigkeitsdichte in Beobachtungen pro Minute. Eine Höhe von zwei bedeutet durchschnittlich zwei Beobachtungen je Minute Klassenbreite. Sie steht weder für zwei Beobachtungen im ganzen Rechteck noch für die genauen Einzelwerte. Das Wort Dichte bezeichnet hier keine physikalische Masse pro Volumen, sondern eine statistische Anzahl bezogen auf die Intervallbreite.
Die Klassen dürfen sich an einer Grenze berühren, aber nicht überschneiden. Wir wählen 0 ≤ t < 10, dann 10 ≤ t < 30 und schließlich 30 ≤ t ≤ 35. Genau zehn Minuten gehören nur zur zweiten Klasse. Die letzte Obergrenze ist ausdrücklich eingeschlossen. Bei anderen Aufgaben gelten deren Festlegungen. Der Leitfaden für Mathe-Hausaufgaben hilft dir, vor dem Rechnen die gesuchte Größe festzuhalten.
Anzahl, Breite und Dichte gehören in getrennte Spalten
Stell dir dreißig Erwachsene vor, die eine kurze Bastelaufgabe bearbeiten. Sämtliche Zeiten und Anzahlen sind für diesen Artikel erfunden; sie stammen nicht aus einem beobachteten Kurs. Acht Bearbeitungszeiten liegen in der ersten Klasse, zwölf in der zweiten und zehn in der dritten. Die Tabelle zeigt auch die Ergebnisse, die wir gleich begründen. Die Fotos veranschaulichen einzelne Gedanken, liefern aber keine Messwerte.
| Dauer t (min) | Anzahl | Breite (min) | Dichte (pro min) |
|---|---|---|---|
| 0 ≤ t < 10 | 8 | 10 | 0,8 |
| 10 ≤ t < 30 | 12 | 20 | 0,6 |
| 30 ≤ t ≤ 35 | 10 | 5 | 2 |
Berechne jede Breite als obere minus untere Grenze: 10 − 0 = 10 min, 30 − 10 = 20 min und 35 − 30 = 5 min. Die zweite Klasse ist nicht dreißig Minuten breit, nur weil dreißig ihre Obergrenze ist. Ebenso wenig zählt man die aufgeschriebenen Grenzzahlen wie eine Liste ganzer Minuten ab. Eine kontinuierlich betrachtete Dauer zwischen zehn und dreißig Minuten umfasst eine Breite von zwanzig Minuten.
Addiere getrennt davon die Anzahlen: 8 + 12 + 10 = 30 Beobachtungen. Breiten zählen keine Personen. Diese Trennung ist beim Prüfen hilfreich: Eine falsch berechnete Breite verändert die Dichte, obwohl die Anzahl korrekt aus der Aufgabe abgeschrieben wurde. Lass deshalb die ursprünglichen Spalten sichtbar, statt alles sofort in eine einzige Formel einzusetzen.
Teile durch die Breite und rechne zur Kontrolle zurück
Die Dichte ist Anzahl geteilt durch Breite. Für die drei Klassen erhältst du 8/10 = 0,8, 12/20 = 0,6 und 10/5 = 2 Beobachtungen pro Minute. Zur Kontrolle kehrst du die Rechnung um: Anzahl = Dichte × Breite. Es folgen 0,8 × 10 = 8, 0,6 × 20 = 12 und 2 × 5 = 10. So prüfst du zugleich die Zahlen und die Bedeutung der Rechtecke.
Wähle waagerecht eine lineare Skala. Zwanzig Minuten müssen auf dem Papier doppelt so breit sein wie zehn Minuten. Drei Tabellenzeilen rechtfertigen keine drei gleich breiten Rechtecke. Alle beginnen auf derselben Grundlinie; senkrecht gilt eine einheitliche Dichteskala. Die Histogramm-Erklärung von BBC Bitesize beschreibt diese Darstellungsweise. Unsere Zahlen und unsere Grafik sind eigenständige Übungsbeispiele.
Numerisch liefert Minute × Beobachtungen-pro-Minute wieder Beobachtungen. Die tatsächlichen Quadratzentimeter auf deinem Blatt hängen dagegen von beiden Zeichenmaßstäben ab. Ein Quadratzentimeter steht nicht automatisch für eine Person. Wenn du die Grafik vergrößerst, wächst ihre Papierfläche, aber die dargestellte Anzahl bleibt gleich. Erkläre die Rechnung deshalb mit den Achseneinheiten und nicht nur mit einem abgemessenen Flächenstück.
Das höchste Rechteck enthält hier nicht die meisten Beobachtungen
Das letzte Rechteck ist am höchsten: Seine Dichte beträgt zwei, die anderen Dichten betragen 0,8 und 0,6. Trotzdem enthält es mit zehn Beobachtungen weniger als die mittlere Klasse mit zwölf. Das breitere mittlere Intervall umfasst insgesamt mehr Bearbeitungszeiten, obwohl seine durchschnittliche Konzentration pro Minute geringer ist. Bei der Frage nach den meisten Beobachtungen vergleichst du die Flächen oder die Anzahlspalte.
Fragt die Aufgabe nach der größten Häufigkeitsdichte, antwortest du dagegen mit der letzten Klasse. Beide Fragen sind sinnvoll, aber sie suchen verschiedene Größen. Formuliere vollständig: „Im Intervall von zehn bis unter dreißig Minuten liegen zwölf Beobachtungen.“ Oder: „Die Klasse von dreißig bis fünfunddreißig Minuten hat die größte Dichte.“ „Die größte Gruppe“ bleibt ohne nähere Erklärung unnötig mehrdeutig.
Falls eine Aufgabe den Begriff Modalklasse verwendet, prüfe bei ungleichen Breiten die Definition aus deinem Kurs. Setze größte Anzahl und größte Dichte nicht stillschweigend gleich. Du kannst beide Ergebnisse ausdrücklich nennen. Einen exakten häufigsten Einzelwert verrät diese Tabelle ohnehin nicht. Innerhalb jeder Klasse sind viele unterschiedliche Verteilungen möglich, die genau dieselben Anzahlen ergeben.
Probiere den nächsten Schritt mit deiner Aufgabe.
Bring deine Aufgabe und deinen Versuch in Lirno ein. Bitte um einen Hinweis, besprich die Begründung und probiere den nächsten Schritt selbst.
Erkenne, ob Flächen Anzahlen oder Anteile darstellen
Ein vorgegebenes Histogramm kann relative statt absolute Häufigkeitsdichten verwenden. Teile dafür jede Anzahl zunächst durch die Gesamtzahl dreißig und anschließend durch die Klassenbreite. Die erste Höhe lautet dann (8/30)/10 = 8/300 pro Minute. Ihre Fläche beträgt 8/30 und beschreibt den Anteil dieser Klasse an allen Beobachtungen. Alle drei Flächen ergeben zusammen eins; bei unserer absoluten Darstellung ergeben sie dreißig.
Fehlt die Beschriftung der senkrechten Achse und ist weder eine Klassenanzahl noch eine Gesamtzahl bekannt, liefern die Rechteckverhältnisse keine absolute Personenzahl. Du brauchst einen Bezug für den Maßstab. Ist beispielsweise bekannt, dass eine zehn Minuten breite Klasse acht Beobachtungen enthält, muss ihre absolute Dichte 0,8 pro Minute betragen. Damit lässt sich eine einheitliche Zeichenskala kalibrieren.
Bei gleich breiten Klassen sind die Höhen proportional zu den Anzahlen. Dann führt ein Höhenvergleich zur selben Rangfolge wie ein Flächenvergleich. Diese praktische Besonderheit gilt nicht allgemein. Die Universität Oldenburg erläutert den Zweck der Häufigkeitsdichte. Entscheidend für deine Rechnung bleibt, welche Art von Dichte auf deiner tatsächlichen Achse steht.
Ein Schnitt innerhalb einer Klasse liefert keine genaue Anzahl
Wie viele Personen benötigten weniger als zwanzig Minuten? Acht sind sicher in der ersten Klasse. Die zwölf Beobachtungen der zweiten Klasse können aber irgendwo zwischen zehn und unter dreißig Minuten liegen. Von ihnen könnten keine oder alle zwölf unter zwanzig Minuten liegen. Mit den gruppierten Angaben allein reicht die mögliche Gesamtzahl deshalb von acht bis zwanzig. Das Rechteck enthält keine ablesbaren einzelnen Zeitpunkte.
Verlangt die Aufgabe ausdrücklich eine Schätzung unter der Annahme einer gleichmäßigen Verteilung innerhalb jeder Klasse, halbiert zwanzig das mittlere Intervall. Dann ordnest du diesem Teil die Hälfte von zwölf zu und schätzt 8 + 6 = 14 Personen. Benenne die Annahme. Vierzehn ist keine exakte Anzahl, die bereits in der Tabelle steht. Ein flaches Rechteck zeigt die mittlere Dichte einer Klasse und beweist keine gleichmäßig verteilten Einzelwerte.
Fragen entlang vollständiger Klassengrenzen lassen sich dagegen genau beantworten: Mindestens zehn Minuten benötigten 12 + 10 = 22 Personen. Ein exakter Mittelwert, ein genauer Median oder Einzelwerte innerhalb der Klassen verlangen im Allgemeinen mehr Angaben. Der Leitfaden zu Textaufgaben unterstützt die passende Zuordnung von Frage und Rechnung. Hier prüfst du zusätzlich, ob der gefragte Grenzwert eine Klasse durchschneidet.
Finde die erste Abweichung zwischen Tabelle und Zeichnung
Jemand übernimmt die Anzahlen 8, 12 und 10 direkt als Höhen und lässt die ungleichen Breiten 10, 20 und 5 bestehen. Die numerischen Flächen werden dann 80, 240 und 50. Dieses Verhältnis entspricht nicht mehr 8:12:10; die mittlere Klasse wird übermäßig groß dargestellt. Korrigiere die Regel für die Höhen, statt die richtigen Daten passend zum gewohnten Bild zu verändern.
Prüfe in einer festen Reihenfolge: Grenzen subtrahiert, Anzahl aus derselben Zeile übernommen, durch die Breite geteilt, waagerechte Abstände maßstabsgerecht, senkrechte Skala einheitlich. Multipliziere anschließend für jedes Rechteck Breite mal Höhe. Vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Anzahl. Die Höhen zu addieren ersetzt diese Kontrolle nicht: 0,8 + 0,6 + 2 = 3,4 ergibt weder dreißig Personen noch eine sinnvolle Gesamtanzahl.
Bei einem wiederkehrenden Fehler hilft ein gezielter Eintrag zur Fehlerauswertung. Notiere die erste falsche Entscheidung, die Korrektur und eine neue Kontrollaufgabe. „Vor dem Klassenvergleich die Anzahl über die Fläche zurückrechnen“ ist ein brauchbarer Hinweis. Er benennt eine überprüfbare Handlung statt nur das falsche Endergebnis.
Prüfe dein Verständnis an neuen Klassen
Decke das erste Beispiel ab. Eine zweite erfundene Aktivität hat die Klassen 0 ≤ t < 5 mit sechs Beobachtungen, 5 ≤ t < 15 mit acht und 15 ≤ t ≤ 30 mit sechs. Berechne Breiten und Dichten. Welche Klasse enthält die meisten Beobachtungen? Welche hat die größte Dichte? Begründe außerdem, weshalb die beiden Klassen mit jeweils sechs Beobachtungen verschiedene Höhen brauchen.
Die Breiten betragen 5, 10 und 15 Minuten. Die Dichten sind 6/5 = 1,2, 8/10 = 0,8 und 6/15 = 0,4 pro Minute. Die mittlere Klasse enthält mit acht die meisten Beobachtungen; die erste hat mit 1,2 die größte Dichte. Die beiden Sechsergruppen haben gleich große numerische Flächen. Das letzte Rechteck ist jedoch dreimal so breit und nur ein Drittel so hoch wie das erste. Die Rückrechnung ergibt 6, 8 und 6, zusammen zwanzig.
Ist die genaue Anzahl unter zehn Minuten bekannt? Sicher sind sechs aus der ersten Klasse; aus der mittleren könnten null bis acht hinzukommen. Nur eine ausdrücklich gleichmäßige Schätzung ordnet vier dem unteren Teil zu und kommt insgesamt auf zehn. Schließe mit einem Satz ab, der Ergebnis und Voraussetzung nennt. Damit prüfst du, ob du die Aussagekraft der Daten verstanden hast und nicht bloß eine Formel anwenden kannst.
Fragen zu dieser Methode
Darf ich für die Gesamtzahl die Höhen addieren?
Bei ungleichen Klassenbreiten nicht. Multipliziere jede Dichte mit ihrer eigenen Breite und addiere die so erhaltenen Anzahlen. Bei relativen Dichten ergeben die Flächen stattdessen Anteile.
Beweist die flache Oberkante eine gleichmäßige Verteilung?
Nein. Das Rechteck stellt eine durchschnittliche Klassendichte dar. Für genaue Teilanzahlen brauchst du Einzelwerte; eine proportionale Schätzung verlangt eine ausdrücklich genannte Annahme.
Kann die Klasse mit den meisten Beobachtungen niedriger sein?
Ja. Die Höhe beschreibt Dichte. Ein breiteres Intervall kann trotz geringerer Höhe eine größere Fläche und damit mehr Beobachtungen besitzen.