Histogramme à classes inégales : compare les aires
Un histogramme à classes inégales représente les effectifs par les aires des rectangles. Chaque hauteur indique une densité : l’effectif divisé par l’amplitude de la classe. Pour comparer les nombres d’observations, multiplie chaque hauteur par sa propre largeur. Cet exemple original permet aussi de distinguer un résultat exact d’une estimation à l’intérieur d’une classe.
Un histogramme à classes inégales demande une échelle de densité
Commence par identifier la grandeur portée en abscisse. Ici, il s’agit de la durée d’une activité : chaque rectangle occupe donc un intervalle numérique. Un diagramme comparant des catégories nommées, comme différents matériaux, répond à une autre question. On peut réserver des emplacements de même largeur à ces catégories sans leur attribuer une durée. Dans notre histogramme, la largeur a au contraire un sens précis.
Lis ensuite l’étiquette de l’axe vertical. Nous utilisons une densité d’effectif, exprimée en observations par minute. Une hauteur de deux correspond à deux observations par minute d’amplitude, en moyenne sur la classe. Elle ne signifie pas que le rectangle entier contient deux observations. Elle ne révèle pas non plus leurs valeurs individuelles. Ici, le mot densité ne désigne donc pas une masse volumique.
Les intervalles peuvent partager une borne, mais une observation ne doit pas être comptée deux fois. Nous choisissons 0 ≤ t < 10, puis 10 ≤ t < 30, enfin 30 ≤ t ≤ 35. Une durée de dix minutes appartient seulement à la deuxième classe. La dernière borne supérieure est incluse explicitement. Pour un autre exercice, respecte ses conventions. Le guide d’aide en mathématiques t’aide à nommer la quantité recherchée avant de calculer.
Sépare l’effectif, l’amplitude et la densité
Imaginons trente adultes réalisant une activité manuelle. Les durées et les effectifs sont entièrement fictifs : ce ne sont pas des résultats recueillis dans un atelier. Huit durées appartiennent à la première classe, douze à la deuxième et dix à la troisième. Le tableau présente aussi les calculs que nous allons expliquer. Les photographies illustrent des idées, sans fournir de mesures supplémentaires.
| Durée t (min) | Effectif | Amplitude (min) | Densité (par min) |
|---|---|---|---|
| 0 ≤ t < 10 | 8 | 10 | 0,8 |
| 10 ≤ t < 30 | 12 | 20 | 0,6 |
| 30 ≤ t ≤ 35 | 10 | 5 | 2 |
Une amplitude se calcule en soustrayant la borne inférieure de la borne supérieure : 10 − 0 = 10 min, 30 − 10 = 20 min et 35 − 30 = 5 min. La deuxième classe n’a pas une amplitude de trente minutes simplement parce qu’elle se termine à trente. Ne compte pas non plus les nombres entiers entre les bornes comme une liste de valeurs : une durée est ici traitée comme une grandeur continue.
Vérifie séparément le total des effectifs : 8 + 12 + 10 = 30 observations. Les amplitudes ne comptent pas les personnes. En conservant ces colonnes distinctes, tu peux localiser une erreur : une mauvaise soustraction des bornes modifie la densité même si l’effectif a été correctement recopié.
Divise par l’amplitude, puis vérifie par multiplication
Calcule la densité par effectif ÷ amplitude. Les trois hauteurs sont 8/10 = 0,8, 12/20 = 0,6 et 10/5 = 2 observations par minute. Pour vérifier, fais l’opération inverse : effectif = densité × amplitude. Tu retrouves 0,8 × 10 = 8, 0,6 × 20 = 12 et 2 × 5 = 10. Cette vérification contrôle les valeurs et le sens de chaque rectangle.
Conserve une échelle horizontale linéaire : vingt minutes doivent occuper deux fois la largeur de dix minutes sur le dessin. Trois lignes dans un tableau ne justifient pas trois rectangles de même largeur. Tous partent de la même ligne de base, avec une échelle verticale cohérente. La présentation des histogrammes par BBC Bitesize explique cette convention. Nos nombres et notre graphique sont originaux.
En unités numériques, minute × observations-par-minute donne des observations. Les centimètres carrés sur ta feuille dépendent des deux échelles choisies : un centimètre carré ne vaut pas automatiquement une personne. Agrandir le dessin augmente sa surface physique, sans changer les données représentées. Garde donc les unités des axes quand tu justifies le produit de la largeur par la hauteur.
Le rectangle le plus haut n’a pas le plus grand effectif
Le dernier rectangle est le plus haut : sa densité vaut deux, contre 0,8 et 0,6. Pourtant, son effectif de dix est inférieur aux douze observations de la classe centrale. L’intervalle central, plus large, contient davantage de durées au total malgré une concentration moyenne plus faible par minute. Pour répondre à une question sur le plus grand effectif, compare les aires ou la colonne des effectifs.
Si l’on demande la plus grande densité, la dernière classe est la bonne réponse. Ces deux questions sont différentes et légitimes. Une phrase complète évite l’ambiguïté : « La classe de dix à moins de trente minutes contient douze observations. » Ou : « La classe de trente à trente-cinq minutes possède la plus grande densité. » Dire seulement « le groupe le plus important » ne précise pas ce que tu compares.
Si ton cours emploie l’expression classe modale, vérifie sa définition lorsque les amplitudes diffèrent. N’assimile pas silencieusement plus grand effectif et plus forte densité. Tu peux donner les deux informations explicitement. Le tableau ne permet pas non plus de retrouver une durée individuelle exactement la plus fréquente : de nombreuses listes différentes peuvent produire les trois mêmes effectifs.
Essaie la prochaine étape avec ton exercice.
Apporte ton exercice et ta tentative dans Lirno. Demande un indice, discute du raisonnement, puis essaie la prochaine étape par toi-même.
Lis l’échelle avant de transformer une aire en effectif
Un autre graphique peut utiliser une densité de fréquence relative. Divise alors chaque effectif par le total de trente, puis par l’amplitude. Pour la première classe, la hauteur devient (8/30)/10 = 8/300 par minute. Son aire vaut 8/30, c’est-à-dire la proportion des observations dans cette classe. La somme des trois aires vaut alors un, contre trente avec notre densité d’effectif.
Si l’axe vertical n’est pas renseigné et qu’aucun effectif ni total n’est donné, les proportions des rectangles ne suffisent pas à établir des nombres absolus. Il faut un repère pour l’échelle. Une classe de dix minutes dont l’effectif connu est huit a nécessairement une densité d’effectif de 0,8 par minute. Ce rectangle peut servir à étalonner une échelle de dessin cohérente.
Lorsque toutes les amplitudes sont égales, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs. Leur comparaison classe donc les effectifs dans le bon ordre. Ce cas pratique ne se généralise pas aux amplitudes inégales. La leçon de l’université d’Oldenburg sur la densité explique le rôle des largeurs. Pour ton exercice, vérifie toujours quelle normalisation figure sur l’axe réel.
Une coupure à l’intérieur d’une classe demande une hypothèse
Combien de personnes ont mis moins de vingt minutes ? Huit appartiennent à la première classe. Mais les douze observations de la deuxième sont quelque part entre dix et moins de trente minutes. Aucune, ou toutes les douze, pourraient se situer sous vingt. Avec les seules données groupées, le total exact sous vingt peut donc aller de huit à vingt. Le rectangle ne révèle pas les douze durées cachées.
Si l’exercice demande une estimation en supposant une répartition uniforme dans chaque classe, vingt partage l’intervalle central en deux parties égales. Tu attribues la moitié de douze à la partie inférieure et estimes 8 + 6 = 14 personnes. Indique cette hypothèse. Quatorze n’est pas un effectif exact établi par le tableau. Une hauteur constante représente une densité moyenne, sans prouver que les observations sont régulièrement espacées.
En revanche, une question portant sur des classes entières admet une réponse exacte : au moins dix minutes correspond à 12 + 10 = 22 personnes. Une moyenne exacte, une médiane exacte ou des valeurs individuelles exigent généralement davantage d’informations. Le guide de résolution des problèmes aide à relier une opération à la bonne question. Ici, demande-toi aussi si le seuil traverse une classe ou coïncide avec une borne.
Retrouve le premier désaccord entre le tableau et le dessin
Supposons qu’une personne utilise directement les effectifs 8, 12 et 10 comme hauteurs, tout en gardant les amplitudes 10, 20 et 5. Les aires numériques deviennent 80, 240 et 50. Leur rapport n’est plus 8:12:10 : la classe centrale apparaît trop importante. Corrige la règle de calcul des hauteurs, plutôt que de modifier des données justes pour retrouver un dessin familier.
Vérifie dans un ordre stable : soustraction des bornes, effectif recopié sur la même ligne, division par l’amplitude, distances horizontales et échelle verticale. Multiplie ensuite largeur et hauteur pour chaque rectangle et compare le résultat avec l’effectif initial. Additionner les hauteurs n’est pas un contrôle du total : 0,8 + 0,6 + 2 = 3,4 ne représente ni trente personnes ni un effectif global pertinent.
Si l’erreur revient, garde une note de correction ciblée : première décision incorrecte, correction et nouvel essai. « Retrouver l’effectif par l’aire avant de comparer les classes » fournit une action vérifiable. Ce rappel est plus précis qu’une simple mention « mauvaise lecture du graphique », qui ne montre pas ce qu’il faut changer au prochain exercice.
Essaie trois nouveaux intervalles sans regarder le modèle
Cache le premier exemple. Une seconde activité fictive donne les classes 0 ≤ t < 5 avec six observations, 5 ≤ t < 15 avec huit, puis 15 ≤ t ≤ 30 avec six. Calcule les amplitudes et les densités. Quelle classe contient le plus d’observations ? Laquelle a la plus grande densité ? Explique pourquoi les deux classes d’effectif six doivent avoir des hauteurs différentes.
Les amplitudes sont 5, 10 et 15 minutes. Les densités valent 6/5 = 1,2, 8/10 = 0,8 et 6/15 = 0,4 par minute. La classe centrale a le plus grand effectif, huit ; la première a la densité maximale, 1,2. Les deux rectangles d’effectif six ont des aires numériques égales. Le dernier est toutefois trois fois plus large et trois fois moins haut que le premier. La vérification redonne 6, 8 et 6, soit vingt observations.
Peux-tu connaître l’effectif exact sous dix minutes ? Il y en a six dans la première classe, auxquels peuvent s’ajouter zéro à huit observations de la deuxième. Seule une estimation uniforme lui attribuerait quatre et donnerait dix au total. Termine par une phrase qui associe résultat et conditions. Ce dernier contrôle montre si tu sais interpréter les données, au-delà de l’application mécanique d’une formule.
Questions sur cette méthode
Peut-on additionner les hauteurs pour trouver le total ?
Pas avec des amplitudes différentes. Multiplie chaque densité par sa propre amplitude, puis additionne les effectifs. Avec une densité de fréquence relative, les aires représentent des proportions.
La hauteur constante prouve-t-elle une répartition régulière ?
Non. Le rectangle indique une densité moyenne dans la classe. Un effectif partiel exact demande les observations individuelles ; une estimation proportionnelle suppose une hypothèse explicite.
Le plus grand effectif peut-il correspondre à un rectangle moins haut ?
Oui. La hauteur mesure la densité. Un intervalle plus large peut avoir une aire et un effectif supérieurs, malgré une hauteur plus faible.